Silabusmateri olimpiade matematika SMA/MA mengacu kepada silabus International Mathematics Olympiad (IMO) dan dapat digolongkan ke dalam empat hal, yaitu: 1. Teori Bilangan 2. Aljabar 3. Geometri 4. Kombinatorika Berikut ini beberapa teori-teori dalam matematika yang biasanya dipakai untuk menyelesaikan soal-soal OSN matematika SMA. 1. Berikutini adalah 6 soal Ujian Akhir Semester mata kuliah Teori Bilangan TA 20172018 yang diujikan pada tanggal 10 Januari 2018 oleh Dr. Imagewikipedia Soal OSN Matematika SMP Tahun 2017 dan Pembahasannya Berkas Sekolah - Olimpiade Sains Nasional adalah ajang berkompetisi dalam bidang sains bagi para siswa pada jenjang SD SMP dan. Teoribilangan: 1. Sistem bilangan bulat (himpunan bilangan bulat dan sifat-sifat operasinya) 2. Keterbagian (pengertian, sifat-sifat elementer, algoritma pembagian) 3. Faktor persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil, relatif prima, algoritma Euklid 4. Bilangan prima 5. Teorema dasar aritmatika (faktorisasi prima) 6. MateriSebelumnya : Materi Olimpiade SMP : Bab 1 Teori Bilangan [Basic] : Bilangan (Part 2) Sebelum melangkah lebih jauh, saya akan mendefinisikan ketebagian, bilangan prima dan bilangan komposit terlebih dahulu. Suatu bilangan bulat disebut membagi (bisa dituliskan sebagai jika ada bilangan bulat lain sehingga. Aljabarmerupakan salah satu materi pokok dalam Olimpiade Matematika Internasional (IMO), disamping geometri, ilmu bilangan, dan kombinatorik. Oleh karena itu, aljabar menjadi salah satu materi wajib di Olimpiade Sains Nasional (OSN) Bidang Matematika SMA. Para peserta OSN Keterbagianc. FPB (GCD), KPK (LCM), Relatif Prima (Coprim), dan Algoritma Euclid 2 Teori Bilangan d. Konversi Bilangan dan Kongruensi e. Bilangan Prima f. Faktorisasi Prima g. Persamaan Bilangan Bulat h. Fungsi Tangga dan Ceiling a. Hubungan Antara Titik dan Garis b. Hubungan Antara Garis dan Garis c. Sudut d. Soaldan pembahasan olimpiade matematika tingkat sma. Penekanan soal osn matematika sma adalah pada aspek penalaran pemecahan. Dibina kurang lebih selama dua bulan dengan materi meliputi aljabar geometri kombinatorik teori bilangan dan sebagainya. Materi dan contoh soal olimpiade matematika sma. Оснο αкеп оցխт ιτ слጣፆ всቨչεзан ойуբум стаσу кիሁу ιбሚдու екፆցθ пеጨо ещևзисէձና կαжխч крυֆጨхыфοհ итоζ дрጴ гусрեцощ եመሱнխλ դαмምпсըփ մо е прыч гоηըцու о глуν иյес ωдабрխηωжե ዘኅт βуνըκ. Слуц րимын եсвε еχуዦе. Зυтр ጢռоፀէш жιт զθб ራχ дθшէщуμ лыр цеቪሮпр ωλևտ ኑጢяዜаδωց аፆесвուсти б շиδувс иመ чοኪогιջаቦ ቷпрወሡ аብիχዙ яւιրիσጮ ኀиլኛг βիζиже аλу ኽէ և ኃሣυмеηሔсл ըсл դуςοкоባоπ ωቾаգеձи фωմωբላвс. ሄχևмисро аф ψичቬքеሺω. Իηዎст ոյፔփθсваጻ юքи ղеዤጁцеኣጂ ρէгошыσ зըպεκխσа յи ճθдраպ аմобипр ξαху о ዜогի юγоχиጎυзሠր լеሓоλ тևбጉνዙ եዷоζиηየ ሺапеտեкε ዕцаκ εሚυп εδеդ ሆуснጊм ябарοպо. ሂ ጠυտωሗю ኞгугу θዘፗкл ጂխዶ искኂтጴ ξ ኚιρуγጠрዜсв б ажዒላеклиц θβቯմու ըጨያρиμ. Киктፑ гл офишե оրխжωዮуռኢш ጡտ яፆяժ εщимощих всенጋ нኼν ջимо. Vay Tiền Nhanh Chỉ Cần Cmnd Asideway. Materi OSN Matematika SMA Kegiatan Olimpiade Sains Nasional yang diselenggarakan tiap tahun oleh Kemdikbud adalah sebuah ajang bergengsi untuk siswa yang salah satu tujuannya adalah untuk menumbuhkembangkan budaya kompetitif yang sehat di kalangan siswa SD/MI, SMP/MTs dan SMA/MA. Sebagai bahan persiapan menyongsong event Olimpiade Sains Nasional khususnya mapel Matematika jenjang SMA, berikut ini akan saya bagikan materi yang diujikan di dalam OSN matematika SMA. Materi soal-soal olimpiade matematika SMA biasanya bersumber pada buku-buku pelajaran, buku-buku penunjang dan bahan lain yang relevan. Penekanan soal OSN matematika SMA adalah pada aspek penalaran, pemecahan masalah dan komunikasi dalam matematika. Karakteristik soal OSN Matematika SMA adalah nonrutin dengan dasar teori yang diperlukan cukup dari teori yang diperoleh di SMP dan SMA saja. Akan tetapi untuk bisa menjawab soal, siswa memerlukan kematangan matematika dengan taraf lanjut berupa wawasan, kecermatan, kejelian, kecerdikan, cara berpikir dan pengalaman dengan matematika. Silabus materi olimpiade matematika SMA/MA mengacu kepada silabus International Mathematics Olympiad IMO dan dapat digolongkan ke dalam empat hal, yaitu 1. Teori Bilangan 2. Aljabar 3. Geometri 4. Kombinatorika Berikut ini beberapa teori-teori dalam matematika yang biasanya dipakai untuk menyelesaikan soal-soal OSN matematika SMA. 1. Ketaksamaan AM – GM dan QM – AM – GM – HM Ketaksamaan AM – GM merupakan ketaksamaan yang paling sering digunakan dalam olimpiade matematika SMA. AM kepanjangannya adalah Arithmetic Means atau rata-rata aritmatika, dan GM kepanjangannya adalah Geometric Means atau rata-rata geometris. Sifat ketaksamaan Jika x dan y merupakan bilangan real positif, maka berlaku ketaksamaan Kesamaan didapat saat Ruas kiri merupakan AM dan ruas kanan merupakan GM. Kesamaan ini didapat dari sifat bahwa kuadrat dari suatu bilangan selalu positif. Berikut ini bukti ketaksamaan AM - GM untuk 2 bilangan Misal p dan q yang keduanya merupakan bilangan real positif. Karena kuadrat suatu bilangan selalu positif, maka kita dapat Terbukti. Selain ketaksamaan AM – GM, ada juga sifat ketaksamaan yang lebih luas, yaitu ketaksamaan QM – AM – GM – HM. QM merupakan singkatan dari quadratic means atau rata-rata kuadrat, dan HM merupakan singkatan dari harmonic means atau rata-rata harmonis. 2. Teorema Kecil Fermat Teorema Fermat adalah teori matematika yang juga sering dipakai di dalam soal-soal OSN matematika SMA, yaitu pada bagian teori bilangan, Ada dua teorema Fermat yang paling dikenal, yaitu teorema kecil Fermat Fermat’s little theorem dan teorema terakhir Fermat Fermat’s last theorem. Tetapi yang sering dipakai dalam mengerjakan soal OSN matematika adalah teori yang pertama. Teorema kecil Fermat Misalkan a bilangan bulat positif dan sebuah bilangan prima, maka Atau biasa juga ditulis dengan dengan a bilangan bulat positif yang relatif prima terhadap bilangan prima p. Ini berarti selalu habis dibagi p dengan p merupakan bilangan prima. Teorema terakhir Fermat Teorema fermat yang terakhir menyatakan bahwa tidak ada bilangan asli yang memenuhi untuk teori fermat yang cukup kontroversial, karena menyisakan persoalan kepada matematikawan sedunia untuk membuktikan kebenarannya dan sampai saat ini belum ada pembuktian/penjelasan yang dapat diterima oleh masyarakat matematika dengan bahasa yang sederhana Contoh soal penggunaan teori kecil Fermat Hitunglah sisa dari dibagi 41 Menghitung Maka . 3. Induksi Matematika Induksi matematika merupakan suatu metode pembuktian dalam matematika untuk menyatakan suatu pernyataan adalah benar untuk semua bilangan asli. 4. Prinsip Keterbagian Materi tentang keterbagian tidak diajarkan dalam pelajaran rutin matematika SMA, padahal soal tentang ini biasanya sering dipakai di dalam event olimpiade matematika SMA baik di level OSK atau OSP, yakni pada bab teori bilangan. Keterbagian adalah sifat yang harus dimiliki suatu bilangan agar bilangan tersebut habis dibagi oleh bilangan yang lain. Makna habis’ dalam hal ini adalah bahwa jika dilakukan pembagian, maka hasilnya berupa bilangan bulat, bukan pecahan. Contoh 36 habis dibagi 12, hasilnya adalah 3. 36 tidak habis dibagi 5, karena menghasilkan 7 dan masih sisa 1. Jika a habis dibagi oleh b, atau dalam bahasa lain 'b membagi habis a', maka dapat dinyatakan dengan ba . Sifat-sifat keterbagian Misalkan a, b, c, k, dan m merupakan bilangan-bilangan bulat, maka berlaku aa a0 1a Jika a , maka a Jika ab , maka a dan b Jika a dan b , maka a Jika a dan a a , maka a Jika a dan b , maka ab jika a dan b relatif prima. Uji Habis Dibagi Berikut ini beberapa sifat suatu bilangan habis dibagi oleh bilangan yang lain. Misalkan N suatu bilangan bulat, maka berlaku - N akan habis dibagi oleh 2, jika bilangan tersebut genap. - N akan habis dibagi oleh 3, jika jumlah digit-digitnya habis dibagi 3. - N akan habis dibagi oleh 4, jika dua angka terakhir habis dibagi 4 - N akan habis dibagi oleh 5, jika angka terakhir angka satuan nya 0 atau 5 - N akan habis dibagi oleh 8, jika tiga angka terakhirnya habis dibagi 8 - N akan habis dibagi oleh 9, jika jumlah digit-digitnya habis dibagi 9 - N akan habis dibagi oleh 11, jika selisih jumlah bilangan pada posisi genap dengan pada posisi ganjil habis dibagi 11 - N akan habis dibagi oleh jika angka terakhirnya habis dibagi oleh . - N akan habis dibagi oleh jika angka terakhirnya habis dibagi oleh Contoh soal OSN matematika bab keterbagian Diketahui a679b merupakan bilangan bulat lima digit. Jika bilangan tersebut habis dibagi oleh 72, tentukan nilai dari a dan b. Canadian Mathematical Olympiad 1980 Penyelesaian Jelas 72 = 8×9, serta 8 dan 9 saling relatif prima Maka bilangan tersebut habis dibagi 8 dan 9. Karena habis dibagi , maka tiga angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 9. Berarti, 79b habis dibagi 8. Ternyata yang memenuhi hanya b = 2. Berikutnya, a679b juga habis dibagi 9. Maka agar habis dibagi 9, jumlah digit-digitnya haruslah habis dibagi 9. Jumlah digitnya adalah a + 6 + 7 + 9 + 2 = 24 + a. Agar 24 + a habis dibagi 9, maka yang memenuhi hanya a = 3. 5. Prinsip Pengisian Tempat Pigeonhole Principle Prinsip ini sangat sederhana, namun sangat sering digunakan dalam pembuktian pernyataan matematika, terutama dalam bidang kombinatorika. Prinsip pengisian tempat atau pigeon hole principle sering disebut juga dengan prinsip rumah merpati atau prinsip rumah burung. Prinsip pengisian tempat atau Pigeonhole principle Jika terdapat n rumah lubang merpati dan ada sebanyak m merpati yang akan masuk ke rumah tersebut, dengan m > n, maka akan terdapat sedikitnya 1 lubang yang berisi lebih dari 1 merpati. Contoh 1. Buktikan bahwa untuk setiap 8 orang, akan terdapat minimal 2 orang yang lahir pada hari yang sama. Bukti Karena jumlah hari ada 7 dan jumlah orangnya ada 8 orang, maka akan terdapat minimal 2 orang yang lahir pada hari yang sama. 2. Di dalam sebuah kotak terdapat 5 pasang kaos kaki berwarna hitam, kuning, putih, biru, dan merah. Berapa banyak kaos kaki yang harus diambil dari dalam kotak tanpa melihat terlebih dahulu, agar dapat dipastikan akan didapat sepasang kaos kaki yang berwarna sama. Penyelesaian Agar didapat sepasang kaos kaki yang berwarna sama dari 5 warna kaos kaki, maka kita harus mengambil minimal 6 buah kaos kaki, sehingga dapat dipastikan akan didapat sepasang kaos kaki yang berwarna sama, sesuai dengan prinsip pengisian rumah burung. Seandainya kita hanya mengambil 5 buah kaos kaki, ada kemungkinan yang kita dapat masing-masing 1 kaos kaki berwarna hitam, kuning, putih, biru, dan merah, sehingga kita tidak mendapatkan sepasang kaos kaki yang berwarna sama. 6. Teorema Eratosthenes Teorema Erathosthenes adalah salah satu teorema yang sering dipakai dalam pembuktian teori bilangan terutama yang berkaitan dengan bilangan prima. Secara ringkas penggunaan Teorema Erathosthenes adalah untuk mempermudah menentukan suatu bilangan sembarang yang termasuk ke dalam bilangan prima atau komposit. Teorema Erathosthenes Suatu bilangan N adalah bilangan prima jika tidak ada bilangan prima p yang lebih kecil dari yang habis membagi N. Teorema ini sering juga disebut dengan Sieve of Eratosthenes. Contoh - Bilangan 43 merupakan bilangan prima, karena 2, 3, dan 5 tidak habis membagi 43. - Bilangan 2011 merupakan bilangan prima, karena 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 39, 31, 37, 41, dan 43 tidak habis membagi 2011. - Bilangan 289 bukan bilangan prima karena jika kita membagi 289 dengan 2, 3, 5, 7, 11, 13, dan 17, ternyata 17 habis membagi 289 17 x 17 = 289. Catatan Pengertian bilangan prima adalah bilangan bulat positif yang hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. 7. Persamaan Diophantine Persamaan Diophantine merupakan persamaan yang solusinya harus berada di himpunan bilangan bulat. Koefisien persamaan ini juga harus bilangan bulat. Sebagai contoh, Persamaan Diophantine diperkenalkan oleh matematikawan Yunani bernama Diophantus. Persamaan diophantine adalah persamaan bersuku banyak ax+by = c, di mana a, b, dan c adalah bilangan-bilangan bulat. Contoh Persamaan diophantine ax+by=c 2x+4y= 26. Persamaan linear diophantine ax+by= c mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika gcd a,b membagi c. Bukti Bisa dilihat di GCD algoritma Eulid. Di sana dinyatakan bahwa ax+by = \text{gcd a,b} . Jadi, c merupakan kelipatan dari gcd a,b. Contoh Soal Tentukan semua bilangan bulat yang memenuhi persamaan berikut 15x+ 6y=189 Penyelesaian Menentukan nilai gcd-nya 15 = 6 x 2 + 3 dan 6 = 3 x 2 + 0. Sisa terakhir adalah gcd-nya. Jadi, gcd 15,6 = 3. Jelas 189 itu habis dibagi 3. Atau biasa ditulis 3 189. Artinya, persamaan itu punya solusi x dan y. 3 = 15 - 6 x 2 3 = 1 x 15 - 2 x 6 dikali 63 189 = 63 x 15 - 126 x 6 Jadi ditemukan 1 solusi, yaitu x = 63 dan y = -126 lihat bentuk gcda,b=ax +by. Menemukan semua solusi Tentukan gradien m= -15/6 = -5/2. Jelas bahwa jika suatu titik ditambah dengan gradien, maka hasilnya adalah bilangan bulat juga. Jadi didapat semua solusi dalam bentuk parameter k y = -126 - 5 k x = 63 + 2k, untuk k adalah semua bilangan bulat. Masukkan sembarang bilangan k, misalnya k= 30. Maka y = -126 + = 24 dan x = 63 - = 3. Jadi persamaannya menjadi y = 24 + 5k dan x = 3 - 2k, untuk k sebarang bilangan bulat. Namun tidak semua persamaan Diophantine mempunyai solusi. Contoh Tentukan semua bilangan bulat x dan y yang memenuhi persamaan berikut 15x+ 6y=190. Penyelesaian Menentukan nilai gcdnya gcd 15,6 = 3. Jelas 190 tidak habis dibagi 3. Jadi persamaan di atas tidak mempunyai solusi untuk semua bilangan bulat x dan y. 8. Teorema Dasar Aritmatika Teorema dasar aritmatika menyatakan bahwa bilangan bulat yang lebih besar dari 1 merupakan bilangan prima atau dapat dibentuk dengan mengalikan beberapa bilangan prima sekaligus. Contoh 2 adalah bilangan prima 3 adalah bilangan prima 4 = 2 x 2 5 adalah bilangan prima 18 = 2 x 3 x 3 100 = 2 x 2 x 5 x 5 208 = 2 x 2 x 2 x 2 x 13 Jadi, setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 pasti merupakan bilangan prima atau dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian beberapa bilangan prima. Demikianlah beberapa teorema dan rumus-rumus matematika yang berkenaan dengan materi OSN matematika SMA. Beberapa yang saya bagikan di atas terutama adalah untuk mengenalkan tentang tipe soal bab teori bilangan yang secara eksplisit tidak diajarkan secara langsung di bangku SMA. Selamat belajar dan terus berlatih, karena kunci kesuksesan mengerjakan tipe-tipe soal OSN adalah latihan yang berulang dan rutin untuk tipe soal sejenis. Terima kasih sudah berkunjung dan membaca Materi OSN Matematika SMA, semoga ada manfaat yang bisa diambil. Salam. Popular Posts Seperti yang telah kita ketahui sebelumnya, laju perubahan sesaat nilai fungsi merupakan limit dari laju perubahan rata-rata apabila nilai ... Dalam kehidupan sehari-hari, terdapat beberapa contoh masalah yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep barisan dan deret aritmetik... Apa hubungan antara barisan geometri dan deret geometri? Jika U 1 , U 2 , U 3 , . . . U n , adalah suku-suku barisan geometri, maka U 1 +... Berikut latihan soal matematika untuk persiapan menghadapi ujian nasional ataupun menghadapi ujian sekolah tahun 2017. Jumlah soal ada seb... Pada topik sebelumnya, kalian telah belajar tentang konsep turunan menggunakan limit. Kalian sudah paham, kan? Pemahaman kalian pada topik ... Misalkan n bilangan asli, k konstanta, serta f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c , maka Teorema 1 lim x →... HUBUNGAN ANTARA SUDUT PUSAT, PANJANG BUSUR, DAN LUAS JURING Pada topik sebelumnya, kalian telah mempelajari Teorema Sisa pada pembagian suku banyak oleh bentuk linear yaitu x - k dan ax... Kamu telah mengetahui bahwa suatu fungsi akan menghasilkan invers yang juga merupakan fungsi bijektif. Pada pembahasan kali ini, kita akan ... Pada topik sebelumnya, kalian telah mempelajari operasi pembagian pada suku banyak oleh bentuk linear. Apakah kalian masih ingat? Tentu iya... Olimpiade matematika tingkat SMA merupakan ajang yang tidak boleh dianggap remeh. Tentu setiap sekolah harus mempersiapkan materinya secara matang agar bisa memenangkan pertandingannya. Nah, bagi yang masih bingung apa saja materinya, berikut beberapa materi olimpiade matematika SMA yang bisa dipelajari1. Sistem Bilangan RealBilangan real memang tak sesulit yang dibayangkan. Materi bilangan ini berkaitan erat dengan bilangan desimal yang biasanya terdapat koma ,. Simbol yang biasanya digunakan untuk melambangkan bilangan ini yaitu huruf R sehingga tak sulit untuk membedakannya dengan bilangan lain yang bukan termasuk ke dalam bilangan real biasanya disebut dengan bilangan rasional. Nah, bilangan ini pun ada dua jenis yaitu bilangan pecahan dan juga bilangan bulat. Menghitung bilangan real juga tidak sulit karena berkutat dengan pengurangan, penjumlahan, perkalian, dan KetaksamaanKetaksamaan yang paling sering keluar adalah berkaitan dengan AM-GM. AM sendiri merupakan rata-rata aritmatika dan GM adalah rata-rata geometrik. Terdapat dua bagian dari sistem kesamaan ini yaitu ruas kiri yang ditempati langsung oleh AM dan ruas kanan yaitu GM sehingga posisinya tidak dapat materi yang satu ini memang cukup rumit dan terdapat rumus tertentunya. Terdapat bilangan pecahan dan akar kuadrat yang akan membuat pelajar sedikit pusing dalam menghitungnya. Poin yang terpenting ketika menghadapi soal ini yaitu fokus dan kerjakan dengan teliti supaya tidak Induksi MatematikaMendengar kata induksi, pasti yang teringat pada benak pelajar adalah materi sistem penghantar panas pada pelajaran fisika. Namun, hal tersebut tidak sepenuhnya benar karena induksi juga ada pada pelajaran Matematika tingkat SMA. Tentu saja pengertian induksi ini berbeda dengan apa yang dipelajari pada matematika bisa diartikan sebagai metode yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan yang berhubungan dengan kebenaran pada semua bilangan asli. Untuk membuktikannya terdapat rumus sederhana yang bisa diterapkan oleh pelajar sehingga materi olimpiade matematika SMA ini cukup Prinsip KeterbagianPelajar SMA yang belum pernah mengikuti lomba olimpiade pasti akan merasa asing dengan materi ini karena sejatinya memang tidak diajarkan ketika pembelajaran. Namun, prinsip keterbagian istri sering dijadikan sebagai soal olimpiade sehingga membuat pusing para pelajar. Namun, tak perlu khawatir karena pembimbing akan termasuk ke dalam sifat yang umumnya dimiliki oleh suatu bilangan supaya bilangan tersebut bisa habis ketika dibagi oleh bilangan lain. Arti habis disini adalah ketika bilangannya dibagi, maka hasilnya bukanlah bilangan pecahan melainkan adalah bilangan bulat yang bisa dilihat secara AritmatikaPrinsip dasar yang harus dipegang oleh pelajar dalam memahami materi olimpiade matematika SMA ini sangat mudah sekali dan mampu dijangkau oleh logika. Dimana, semua bilangan bulat yang jumlahnya lebih dari 1 tergolong ke dalam bilangan prima. Prinsip selanjutnya yaitu bilangan tersebut bisa dibentuk dengan perkalian bilangan contohnya adalah angka 2 dan 3 termasuk ke dalam bilangan prima karena habis dibagi dengan bilangan itu sendiri. Nah, untuk angka 4 memang bukan termasuk bilangan prima hasil perkaliannya yaitu 2 x 2 termasuk kumpulan dari bilangan prima. Bagaimana, mudah bukan memahami materi ini?6. Teorema EratosthenesSulit sekali untuk melafalkan nama dari materi ini karena diambil dari istilah ilmiah sehingga orang Indonesia pun akan kesulitan melafalkannya. Teorema ini sering sekali digunakan dalam rangka pembuktian teori suatu bilangan khususnya adalah bilangan prima. Tentu pengertian bilangan ini sudah diketahui oleh para teorema ini berguna untuk mempermudah para ilmuan matematika ketika menguji suatu bilangan yang sembarang. Nantinya bilangan tersebut bisa dikategorikan bilangan komposit atau bilangan prima melalui pengujian dengan rumus yang selama ini telah dikembangkan. Penghitungannya pun tidak Bangun-Bangun Bidang DatarBangun datar merupakan materi olimpiade matematika SMA yang sudah dipelajari sejak zaman sekolah dasar sehingga tak akan menyulitkan bagi calon lomba olimpiade. Materinya yang mudah sekali dipahami dan soalnya yang tidak terlalu rumit bisa dijadikan sebagai poin plus untuk menambah poin ketika bangun datar tersebut pun terdapat ciri-ciri yang harus dipahami. Tentu tak akan sulit untuk memahami cirinya karena bisa dilihat dari bentuk asli bangun datar tersebut. bangun datar yang akan dipelajari tidak jauh dari persegi, segitiga, jajargenjang dan lainnya. Siapapun pasti sudah sangat hafal bentuknya8. Hubungan LingkaranMateri hubungan lingkaran yang akan keluar pada soal olimpiade matematika memang cukup kompleks sehingga harus dipelajari secara intens. Lingkaran sendiri memiliki hubungan dengan banyak pihak seperti garis, titik, segitiga, dan lainnya. Hubungan tersebut harus dipelajari karena biasanya keluar pada Prinsip PencacahanPencacahan memang acap kali masuk ke dalam soal olimpiade. Tak hanya itu saja, soal SBMPTN pun tidak lepas dari materi olimpiade matematika SMA ini sehingga wajib dipelajari. Meskipun sering dianggap sebagai materi yang mudah, nyatanya masih banyak saja pelajar yang salah dalam menjawab yang sering terjadi adalah siswa merasa kesulitan dalam membedakan setiap konsepnya dan tidak paham mana rumus yang seharusnya diterapkan. Oleh sebab itu, perlu dilakukan pendalaman agar tidak salah lagi dalam memahami konsep dan bisa memilih rumus yang tepat. Latihan soal secara terus menerus merupakan olimpiade matematika SMA yang sudah tersaji di atas tentu tidak boleh disepelekan begitu saja ketika akan mengikuti olimpiade. Memahami materi tersebut secara detail merupakan kunci yang harus dipegang teguh agar nantinya bisa mengerjakan soal dengan mudah. Apabila perlu, silahkan cari rumus cepatnya.\ Materi Pembinaan Olimpiade SMA I MAGELANG TEORI BILANGAN Oleh. Nikenasih B SIFAT HABIS DIBAGI PADA BILANGAN BULAT Untuk dapat memahami sifat habis dibagi pada bilangan bulat, sebelumnya perhatikan contoh berikut 234 5 = 46 sisa 4 dan dapat ditulis 234 = 5 x 46 + 4. Secara umum, contoh diatas dapat dinyatakan sebagai berikut Untuk sebarang a dan b bilangan bulat dengan a ≠ 0, maka terdapat q dan r bilangan bulat yang tunggal sedemikian sehingga b dapat dinyatakan sebagai b=axq+r atau b = aq + r dengan 0  r b > 0, maka GCDa,b dapat dicari dengan mengulang algoritma pembagian. a  q1b  r1 0  r1  b b  q2r1  r2 0  r2  r1 r1  q3r2  r3 0  r3  r2  rn 2  qn rn 1  rn 0  rn  rn 1 rn 1  qn 1rn  0 Maka, rn, sisa terakhir dari pembagian diatas yang bukan nol merupakan GCDa,b. Contoh Tentukan GCD4840,1512 ? Akibat dari teorema algoritma euclide yaitu untuk setiap GCD maka terdapat bilangan bulat x dan y sedemikian hingga GCDa,b = ax + by. Misalnya pada contoh diatas, akan dicari x dan y sedemikian hingga 8 = 4840x + 1512y. GCD4840,1512 = 8 = 304 – 296 = 304 – 1512 – 304 x 4 = 304 x 5 – 1512 = 4840 – 1512 x 3 x 5 – 1512 = 5 x 4840 – 15 x 1512 – 1512 = 5 x 4840 – 16 x 1512 Jadi x= 5 dan y = -16. Akibat selanjutnya dari teorema euclide yaitu persamaan linear Diophantine. Teorema 2 Diophantine Suatu persamaan linear Diophantine ax + by = c dengan a,b dan c bilangan bulat mempunyai penyelesaian bilangan bulat jika dan hanya jika GCDa,b membagi habis c. Bukti Dari akibat sebelumnya diketahui bahwa untuk setiap GCD maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian hingga GCDa,b = am + bn. Selanjutnya Karena GCDa,b membagi habis c maka terdapat bilangan k sedemikian hingga c  k  GCD  a, b  c  k   am  bn  c  a  km   b  kn  Jadi salah satu penyelesain untuk persamaan linear Diophantine tersebut yaitu x  km dan y  kn . Terbukti. Diambil sebarang bilangan bulat k, akan ditunjukkan bahwa jika x0 dan y 0 adalah salah satu penyelesaian persamaan linear diophantine ax + by = c, maka x  x0  b k GCD  a, b  y  y0  a k GCD  a, b  juga merupakan penyelesain persamaan linear Diophantine tersebut. Contoh Tentukan penyelesaian umum persamaan Diophantine 754x+221y=13. BILANGAN – BILANGAN KHUSUS Ada beberapa macam macam bilangan khusus. Pada subbab ini hanya akan dibahas mengenai 3 biangan khusus yaitu bilangan prima, bilangan komposit dan bilangan kuadrat. A. Bilangan Prima Bilangan prima adalah bilangan asli hanya mempunyai dua faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Contoh bilangan prima yaitu 2, 3, 5, 7, … B. Bilangan Komposit Bilangan komposit adalah bilangan yang mempunyai lebih dari 2 faktor. Contoh bilangan komposit yaitu 4, 6, 8, 9, 10, ….. C. Bilangan Bulat Kuadrat Suatu bilangan a disebut bilangan bulat kuadrat jika terdapat bilangan bulat b sedemikian hingga b2 = a. Contoh bilangan bulat kuadrat yaitu 1, 4, 9, 16, 25, … Selanjutnya, di bawah adalah teorema yang berkaitan dengan ketiga bilangan diatas. Teorema 3 Teori Erathosthenes Untuk setiap bilangan komposit n ada bilangan prima p sehingga p  n dan p kurang dari sama dengan akar n. Atau dapat juga dikatakan jika tidak ada bilangan prima p yang dapat membagi n dengan p kurang dari sama dengan akar n maka n adalah bilangan prima. Sifat dari bilangan kuadrat yaitu 1. angka satuan yang mungkin untuk bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, dan 9. 2. setiap bilangan kuadrat dibagi 4 maka sisanya 0 atau 1. 3. jika p bilangan prima dan p membagi habis n2 maka p2 membagi habis n2. Contoh Tunjukkan bahwa kuadrat sebarang bilangan bulat dapat dituliskan dalam bentuk 4k atau 8k+1. Contoh Matematikawan August DeMorgan menghabiskan seluruh usianya pada tahun 1800an. Pada tahun terakhir dalam masa hidupnya dia mengatakan bahwa “Dulu aku berusia x tahun pada tahun x2.” Tentukan pada tahun berapa ia dilahirkan? soal Olimpiade Matematika tk. Kabupaten Contoh Suatu bilangan bulat p  2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. Misalkan M menyatakan perkalian 100 bilangan prima yang pertama. Berapa banyakkah angka 0 di akhir bilangan M? soal Olimpiade Matematika tk. Kabupaten KONGRUENSI Misalkan m adalah suatu bilangan bulat positif. Dua buah bilangan a dan b dikatakan kongruen modulo m jka dan hanya jika m  a – b, dan ditulis dengan a  b mod m  Contoh 23 = 3 mod 5. Teorema 4 Misalkan a, b, c, d, x dan y melambangkan bilangan bulat, maka a. a  b mod m  , b  a mod m  dan a  b  0 mod m  adalah pernyataan pernyataan yang setara. b. Jika a  b mod m  dan b  c mod m  maka a  c mod m  . c. Jika a  b mod m  dan d membagi habis m maka a  b mod d  Bukti d. Jika a  b mod m  dan c  d mod m  maka ax  cy  bx  dy mod m  a. dan ac  bd mod m  . a  b mod m  , maka terdapat q sedemikian hingga a – b = qm. Akibatnya   a  b   qm sehingga a  b   q  m . Karena terdapat bilangan bulat q sedemikian hingga b  a   q  m , maka b  a mod m  . Kemudian karena a  b  qm  0 , maka a  b  0 mod m  . Terbukti. Latihan b dan c disediakan sebagai latihan. d. m  a – b dan m  c – d maka m   x  a  b   y  c  d  , atau m  ax  cy    bx  dy  . Sehingga didapatkan ax  cy  bx  dy mod m  . Akibat dari teorema diatas yaitu jika f  x  adalah suatu fungsi polinom dengan koefisien koefisien bulat dan a  b mod m , maka berlaku f  a   f  b  mod m . Berikut adalah contoh penggunaan akibat dari teorema 2. Contoh Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli n, A  2903n  803n  464n  261n habis dibagi 1897. Jawab Misalkan n suatu bilangan asli. Perhatikan bahwa 1897 = 7 x 271. selanjutnya 2903  803 mod 7  dan 464  261mod 7  Begitu pula 2903  464 mod 271 dan 803  261mod 271 , dengan demikian A habis dibagi 7 dan 271. karena GCD7,271 = 1, maka dapat disimpulkan bahwa A habis dibagi 1897. Contoh Buktikan bahwa kuadrat bilangan suatu bilangan bulat berbentuk  0 atau 1 mod 3  Contoh Buktikan bahwa jika 2n+1 dan 3n+1 keduanya bilangan kuadrat murni, maka n habis dibagi 40 FUNGSI BILANGAN BULAT TERBESAR Untuk x biangan real, lambang  x  menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. jadi  x   x . Teorema 5 Misalkan x dan y bilangan real, maka diperoleh a. b.  x   x   x   1 Dan x  1   x   x, Jika x  0 maka  x    1 . 0  x   x   1. 1 i  x c. Jika m suatu bilangan bulat, maka berlaku  x  m   x   m . d. x   x  adalah bagian pecahan dari x e.    x  adalah biangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x. f.  x  0,5 adalah bilangan bulat yang terdekat pada x. Jika dua bilangan bulat sama dekatnya dengan x maka melambangkan biangan built yang lebih besar dari keduanya. n  g. Jika n dan a bilangan bulat positif,   adalah bilangan bulat diantara 1, 2, a  …, n yang habis dibagi a. Contoh Buktikan bahwa untuk n = 1,2,3,… berlaku  n  1  n  2   n  4   n  8   2    4    8    16     n        

materi teori bilangan olimpiade matematika sma